Nhiều bộ phận của lý thuyết định tính phương trình vi phân và hệ thống động học nghiên cứu về tính tiệm cận các lời giải và quỹ đạo, những gì xảy ra với hệ thống sau một thời gian dài. Loại đơn giản nhất của hành vi được đưa ra bởi các điểm cân bằng, hoặc các điểm cố định, và bởi cácquỹ đạo có chu kỳ. Nếu một quỹ đạo đặc biệt được hiểu rõ, điều tất nhiên là ta sẽ biết được trạng thái tiếp theo cho dù chỉ một thay đổi nhỏ trong các điều kiện ban đầu, vì điều đó sẽ dẫn đến hành vi tương tự. Lý thuyết ổn định sẽ giải quyết các câu hỏi sau đây: một quỹ đạo lân cận liệu sẽ mãi mãi ở gần một quỹ đạo cho trước? Liệu nó sẽ hội tụ với quỹ đạo cho trước hay không? (Quỹ đạo sau có thuộc tính mạnh hơn). Trong trường hợp trước, quỹ đạo được gọi là ổn định; trong trường hợp sau, nó được gọi là ổn định tiệm cận và quỹ đạo cho trước được cho là quỹ đạo thu hút.

Một lời giải cân bằng  f e {\displaystyle f_{e}}  cho một hệ thống tự hành của hệ phương trình vi phân thường bậc một được gọi là:

• Ổn định nếu với mọi (nhỏ)  ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} , tồn tại một  δ > 0 {\displaystyle \delta >0}  mà mọi lời giải   f ( t ) {\displaystyle f(t)}  có các điều khiển đầu nằm trong khoảng cách  δ {\displaystyle \delta }  cụ thể  ‖ f ( t 0 ) − f e ‖ < δ {\displaystyle \|f(t_{0})-f_{e}\|<\delta }  của điểm cân bằng duy trì trong khoảng   ϵ {\displaystyle \epsilon }  cụ thể  ‖ f ( t ) − f e ‖ < ϵ {\displaystyle \|f(t)-f_{e}\|<\epsilon }  đối với mọi   t ≥ t 0 {\displaystyle t\geq t_{0}} .
• Ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và, ngoài ra, tồn tại δ 0 > 0 {\displaystyle \delta _{0}>0}  bất cứ khi nào δ 0 > ‖ f ( t 0 ) − f e ‖ {\displaystyle \delta _{0}>\|f(t_{0})-f_{e}\|}  thì f ( t ) → f e {\displaystyle f(t)\rightarrow f_{e}} khi  t → ∞ {\displaystyle t\rightarrow \infty } .

Ổn định có nghĩa là các quỹ đạo không thay đổi quá nhiều dưới ảnh hưởng của các nhiễu loạn nhỏ. Tình hình ngược lại, trong đó một quỹ đạo lân cận được bị đẩy ra khỏi quỹ đạo ban đầu, cũng là điều đáng được quan tâm tới. Nói chung, làm xáo trộn tình trạng ban đầu trong một số hướng, dẫn đến quỹ đạo tiếp cận tiệm cận quỹ đạo ban đầu và theo các hướng khác để quỹ đạo thoát khỏi quỹ đạo ban đầu đó. Cũng có thể có các hướng mà hành vi của quỹ đạo chao đảo (bị nhiễu) là phức tạp hơn (không hội tụ cũng không thoát khỏi hoàn toàn), và do đó lý thuyết ổn định không cung cấp đầy đủ thông tin về đặc tính động học của nó.

Một trong những ý tưởng quan trọng trong lý thuyết ổn định là hành vi định tính của một quỹ đạo dưới ảnh hưởng của các nhiễu loạn có thể được phân tích bằng cách sử dụng phép tuyến tính hóa của hệ thống lân cận quỹ đạo đó. Đặc biệt, tại mỗi điểm cân bằng của một hệ thống động học trơn tru với một không gian pha n-chiều, có một ma trận n×n cho trước A có giá trị riêng đặc trưng cho các hành vi của các điểm lân cận (Định lý Hartman-Grobman). Chính xác hơn, nếu tất cả các véc tơ riêng là những số thực âm hay số phức với phần thực sự âm thì điểm này là một điểm thu hút ổn định điểm cố định, và các điểm lân cận hội tụ vào nó ở một tốc độ hàm mũ, gọi là ổn định Lyapunov vàổn định theo cấp số nhân. Nếu không có véc tơ riêng nào là phần ảo hoàn toàn (hoặc zero) thì hướng thu hút và hướng đẩy lùi có liên quan đến không gian riêng của ma trận A với các véc tơ riêng mà có phần thực là âm và tương ứng, là dương. Các phát biểu tương tự được biết đến cho các nhiễu loạn của các quỹ đạo phức tạp hơn.